Développement et application d’outils théoriques à la commande de systèmes fractionnaires.

Sujets de thèse

Intitulé de la thèse
Développement et application d’outils théoriques à la commande de systèmes fractionnaires.
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Financement institutionnel, Contrat Doctoral, Financement régional, Contrats université sur projets,)
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Sciences pour l’Ingénieur
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Mathématiques
Spécialité de doctorat : Image Signal et Automatique

Lieu de travail
LIAS de l’Université de Poitiers.
Laboratoire d’accueil : LIAS

Introduction
De nombreux travaux ont déjà été réalisés sur la commande des systèmes d’ordre fractionnaire (ici, il s’agit du cas où le système à commander est d’ordre fractionnaire), mais ils sont actuellement remis en cause par une reformulation adaptée de la définition de l’état. Cette nouvelle définition déduite du concept d’intégrateur fractionnaire nous permet de revisiter les notions de commandabilité, observabilité, stabilité et de les appliquer aux critères tels que celui de Lyapunov pour une commande par retour d’état ou optimale par exemple.

Présentation de l’équipe de recherche
Cette thèse se déroulera au sein de l’équipe CRSM (Commande Robuste des Systèmes Multivariables) du LIAS.

Résumé de la thèse en français
(Voir Introduction et Mots-Clés).

Résumé de la thèse en anglais
Many works have been performed on the control of fractional systems.
But, they are revisited due to a reformulation of the state definition.
This new definition is based on the fractional integrator notion.
Thus, the objectif is to redefine the concepts of controllability/observability, Lyapunov/stability in the goal to elaborate state feedback or optimal control for this kind of systems.

Description complète du sujet de thèse
Les systèmes Fractionnaires, linéaires ou non linéaires, sont des systèmes régis par une
équation différentielle ou un système différentiel dont les dérivées sont d’ordre non entier ou
fractionnaire. Longtemps considérés comme une curiosité mathématique, leur étude s’est
considérablement développée depuis une trentaine d’années car de nombreux travaux ont
démontré qu’ils permettaient une représentation compacte (ou parcimonieuse) des systèmes
régis par une équation aux dérivées partielles de diffusion (conduction de la chaleur,
viscoélasticité en mécanique, courants de Foucault dans les machines électriques,
électrochimie des batteries, etc …).
De plus, il a été montré que ces systèmes fractionnaires permettent la réalisation de
correcteurs robustes (commande CRONE, PID fractionnaires …).
Contrairement à la dérivation conventionnelle (d’ordre entier), la dérivation
fractionnaire fait appel à plusieurs définitions (Riemann-Liouville, Caputo, Grünwald, …) ce
qui a généré une certaine confusion dans la définition des variables d’état adaptées aux
systèmes fractionnaires et surtout dans la gestion de leurs conditions initiales. Des travaux
relativement récents ont montré que l’utilisation de ces dérivées conduit à une définition
erronée des variables d’état dans le cas fractionnaire. Comme les concepts fondamentaux des
systèmes (Commandabilité, Observabilité, Stabilité,…) reposent sur la notion d’état et d’état
initial, de nombreux travaux s’avèrent soit faux, soit corrects mais avec une démonstration
erronée.
Deux chercheurs Américains, C. LORENZO et T. HARTLEY ont résolu le problème
de l’initialisation d’un système fractionnaire à l’aide des concepts d « history function » et
d »intialization function ». Toutefois, leur théorie n’apporte pas de solution au concept d’état.
Un autre concept, celui d’intégrateur fractionnaire, a permis lui aussi d’apporter une
solution au problème d’initialisation. A la différence de l’approche précédente ce concept
s’appuie sur les notions d’état et d’état initial, en généralisant les propriétés des systèmes
conventionnels aux systèmes fractionnaires, mais avec la particularité d’un état de dimension
infinie: il s’agit en fait d’un état z(w,t), continûment distribué en fréquence, w variant de 0
à l’infini . Cet état permet d’expliquer de nombreuses propriétés des systèmes fractionnaires, en
particulier leurs régimes libres, et surtout de prédire ces régimes libres à partir d’un état initial
z(w,t0). Par ailleurs, quelques travaux exploratoires ont montré que ce nouveau concept
peut s’appliquer à la définition correcte de fonctions de Lyapunov et à l’observation d’état des
systèmes fractionnaires.
Cette thèse aura pour objectif de modéliser et d’analyser les systèmes fractionnaires à
l’aide de l’opérateur d’intégration fractionnaire, afin de revisiter grâce à une définition
rigoureuse de l’état les concepts de Commandabilité, d’Observabilité et de Stabilité.
Dans un second temps, suivant l’avancement des travaux, ces concepts pourront être
appliqués à la commande par retour d’état et à la commande optimale des systèmes
fractionnaires.
Le travail de recherche débutera par une étude bibliographique dédiée à la dérivation
et à l’intégration fractionnaires et leur application à la modélisation des systèmes. Une attention particulière sera apportée
aux représentations d’état existantes.
Parallèlement, le chercheur se familiarisera avec l’opérateur d’intégration
fractionnaire, son implantation numérique et son application à la simulation des systèmes. La maîtrise du
concept d’état z(w,t) permettra alors d’aborder l’étude des régimes transitoires des systèmes
fractionnaires et surtout de leurs spécificités.
Après une étude bibliographique des travaux existants sur la Commandabilité,
l’Observabilité et la condition de Stabilité de Lyapunov , l’approche basée sur le concept
d’intégrateur fractionnaire permettra de reprendre l’étude de ces principes fondamentaux.
Enfin, grâce à la maîtrise de ces nouveaux outils, il sera possible d’aborder la
commande par retour d’état ou la commande optimale des systèmes fractionnaires.
Ces travaux seront réalisés au LIAS de Poitiers. Ils donneront lieu à des collaborations
nationale avec le LAPS-IMS de l’Université de Bordeaux et internationale avec C.
LORENZO (NASA, Cheveland, Ohio)et T. HARTLEY (AKRON University of OHIO).

Objectifs scientifiques de la thèse
(Voir Description complète du sujet de thèse).

Compétences à l’issue de la thèse
Théories pour l’Automatique et ses applications.

Mots clés (séparés par des virgules)
Systèmes Fractionnaires, Représentation d’état, Commandabilité, Observabilité,
Stabilité, Lyapunov, Commande par retour d’état.
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Expérience/profil souhaité(e)
Le candidat devra avoir une bonne connaissance en Automatique ainsi que de ses fondamentaux théoriques. Une connaissance de Matlab-Simulink est souhaitée. Responsable et organisé à l’oral comme à l’écrit, le candidat devra posséder un intérêt réel pour la recherche ainsi qu’une bonne maîtrise et du Français et de l’Anglais.

Modalité de dépôt des candidatures
CV et lettre de motivations à envoyer par mail avant entretien.

Directeur de thèse
Nezha TRIGEASSOU
Adresse mail du directeur de thèse : nezha.trigeassou@univ-poitiers.fr
Téléphone Directeur de thèse : 05.49.45.37.89
Cofinancement LABEX SigmaLIM demandé : NON
Thèse pour Action transverse : NON

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