Algorithmes symboliques pour la résolution de systèmes d’équations différentielles linéaires dont les coefficients admettent des singularités essentielles dans le champ complexe.

Sujets de thèse

Intitulé de la thèse
Algorithmes symboliques pour la résolution de systèmes d’équations différentielles linéaires dont les coefficients admettent des singularités essentielles dans le champ complexe.
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Financement institutionnel, Contrat Doctoral, Financement régional, Contrats université sur projets,)
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Sciences pour l’Ingénieur
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
Département DMI de l’institut XLIM
Faculté des Sciences et Techniques
Université de Limoges
Laboratoire d’accueil : XLIM/DMI

Introduction
La classe d’équations différentielles dont les coefficients sont des fonctions méromorphes a beaucoup été étudié et on dispose aujourd’hui de logiciels performants, implémentés dans des systèmes de calcul formel tels que Maple ou Mathematica, qui permettent de résoudre de telles équations. L’équipe de calcul formel du laboratoire XLIM de l’Université de Limoges dispose d’une forte expertise dans ce domaine. Cependant beaucoup de systèmes différentiels que l’on rencontre dans les applications (en physique mathématique, sciences de l’ingénieur ou dans d’autres domaines) n’entrent pas dans cette classe de systèmes. Il est alors naturel de s’intéresser à la classe plus large des systèmes différentielles dont les coefficients ne sont plus seulement méromorphes mais possèdent aussi des singularités essentielles.

Présentation de l’équipe de recherche
L’équipe de calcul formel du département Mathématiques et Informatique (DMI) du laboratoire XLIM de l’Université de Limoges, dirigée par M.Barkatou, est experte dans le domaine des équations différentielles linéaireset l’analyse des singularités; elle organise annuellement le workshop international FELIM sur ce sujet. Elle a développé plusieurs librairies du logiciel de calcul formel MAPLE.

Résumé de la thèse en français
Le thème général de la thèse est le développement et l’utilisation de méthodes algébriques (ou formelles) pour la résolution effective de systèmes d’équations différentielles ordinaires linéaires dont les coefficients admettent des singularités essentielles. Il s’agit de généraliser à ce type de systèmes les méthodes développées pour l’analyse locale d’équations différentielles linéaires au voisinage de singularités polaires. Plus précisément, on s’intéressera au problème de la classification des singularités, à la réduction de l’ordre des singularités, au calcul de formes normales, au calcul des solutions formelles, aux problèmes de factorisation, etc.. Le travail théorique et algorithmique sera suivi d’une réalisation informatique dans le logiciel de calcul symbolique Maple.

Résumé de la thèse en anglais
The overall theme of the thesis is the development and use of algebraic (or symbolic) methods for the resolution of systems of linear ordinary differential equations whose coefficients admit essential singularities. The main goal is to generalize to this class of systems, the existing methods for local analysis of linear differential equations around polar singularities. The theoretical and computational work will be followed by an implementation in the computer algebra system Maple.

Description complète du sujet de thèse
Nous envisageons d’étudier dans quelle mesure les méthodes et algorithmes mis en place pour les équations à singularités polaires se transposent à l’analyse locale des équations différentielles linéaires au voisinage de singularités essentielles.
Le projet de thèse comportera trois volets:
1) L’analyse théorique: compréhension des méthodes utilisées dans le cas des systèmes linéaire à coefficients méromorphes et leur extension au cas où les coefficients admettent des singularités essentielles. On étudiera en particulier la structure des solutions formelles et la manière de les obtenir. Un outil important pour le calcul des solutions formelles au voisinage d’une singularité polaire est la réduction au sens de Moser et sa généralisation, les formes super-irréductibles de Hilali-Wazner ainsi que les formes simples de Barkatou-Pfluegel. On essaiera d’étendre ces concepts et outils au cas des équations à singularités essentielles. La difficulté, et la nouveauté ici, est que l’on sera amené à travailler dans des anneaux de valuation discrète dont le corps résiduel n’est pas un corps de constantes, ce qui représente un premier obstacle à la simple adaptation de ce qui se fait dans le cas méromorphe. Une fois cet obstacle levé on s’attaquera au problème de la réduction formelle à une forme normale en s’inspirant des méthodes et approches utilisées dans le cas classique (les méthodes à la Turritin, Levelt etc.). Enfin , on se consacrera à l’étude de la structure des solutions formelles et à leur calcul effectif.

2) L’étude algorithmique: développement d’algorithmes pour résoudre les problèmes que l’on rencontre dans l’étude des systèmes considérés: classification des singularités, calcul d’invariants, construction des solutions formelles, etc.. Analyse de complexité et de performance de ces algorithmes.

3) La réalisation informatique: une part importante de la thèse sera dédiée à l’implémentation (en Maple) des algorithmes élaborés au cours de l’étude algorithmique. L’objectif de cette partie est conception d’un logiciel capable de réaliser, pour cette classe d’équations, l’équivalent de ce que propose le logiciel ISOLDE pour la résolution symbolique de systèmes d’équations différentielles linéaire à coefficients méromorphes.

Objectifs scientifiques de la thèse
Mieux comprendre les équations différentielles linéaires à singularités essentielles.

Développer un logiciel pour l’analyse locale de ces équations, analogue au logiciel ISOLDE écrit en Maple par M.Barkatou et E. Pflügel. Ce logiciel

Ce logiciel permettra d’appréhender une classe d’équations plus large de ce les systèmes de calcul formel sont capables de traiter actuellement

A plus long terme utilisation de ce premier logiciel pour le développement d’un logiciel dédié à la recherche de solutions globale sous forme close d’équations dont les coefficients sont dans une extension Liouvillienne du coprs des fonctions rationnelles.

Compétences à l’issue de la thèse
Une solide formation en mathématiques pures et appliquées, en conception d’algorithmes et en programmation.

Initiation à la recherche

Mots clés (séparés par des virgules)
calcul formel, équations différentielles linéaires, singularités, solutions formelles, calcul asymptotique
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Expérience/profil souhaité(e)
Master en mathématiques ou mathématiques-Informatique
Connaissance en analyse complexe, algèbre, calcul formel, équations différentielles
Goût pour les mathématiques constructives, l’algorithmique et la programmation.

Modalité de dépôt des candidatures
Contacter par mail le directeur de thèse à l’adresse moulay.barkatou@unilim.fr, en envoyant un CV et une lettre de motivation

Directeur de thèse
Moulay Barkatou
Professeur en mathématiques à l’Université de Limoges
Adresse mail du directeur de thèse : moulay.barkatou@unilim.fr
Téléphone Directeur de thèse : +33 5 55 45 73 83
Cofinancement LABEX SigmaLIM demandé : NON
Thèse pour Action transverse : NON

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