Anneaux d’Endomorphismes, Symétries et Résolution d’Equations Différentielles

Sujets de thèse

Intitulé de la thèse
Anneaux d’Endomorphismes, Symétries et Résolution d’Equations Différentielles
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Non connu à ce jour
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Informatique, électronique
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
Limoges. XLIM, Département Mathématiques et Informatique,
Date Limite de candidature : 01/07/2012
Laboratoire d’accueil : XLIM/DMI

Introduction
Etude, par l’angle du calcul formel, de méthodes de résolutions ou simplification d’équations différentielles. Elles seront dans un premier temps linéaires, puis non-linéaires. Il s’agit de combiner des approches de recherches de symétries avec des approches algorithmiques courantes.

Présentation de l’équipe de recherche
Members of the Computer Algebra group develop new computation methods to obtain exact symbolic représentations and certified qualitative informations on solutions of some classes of diffential équations, difference or other functions équations, and other systems of polynomial equations. Our works also result in the production of mathematical software. They provide a complement to purely numerical methods for modeling and scientific computing.

Résumé de la thèse en français
Affiner les études d’anneaux d’endomorphismes de solutions d’équations différentielles linéaires avec des algorithmes de calcul formel, construire ainsi des critères de caractérisation des algèbres de Lie de groupes de Galois différentiels, et étudier les généralisations naturelles de ces objets: symétries de Lie, paires de Lax, etc

Résumé de la thèse en anglais
To study the endomorphism rings (eigenrings) of solutions of linear differential equations through an algorithmic approach. To design constructive criteria to study the Lie algebra of differential Galois groups. To study natural generalisations of these objects: Lie symetries, Lax pairs, etc.

Description complète du sujet de thèse
Les systèmes d’équations différentielles linéaires font l’objet de nombreuses études algorithmiques. L’objet qui contient l’information algébrique sur les relations entre les solutions est le groupe de Galois différentiel mais il est difficile à calculer. Il avait déjà été observé que les endormorphismes de l’espace de solutions (techniquement: ceux qui commutent au groupe de Galois différentiel) permettait de réduire l’ordre des équations considérées (factorisation) et le groupe de Limoges a une expertise ancienne sur ce thème. Il s’agirait, dans un premier temps, de confronter cette expertise avec des avancées récentes sur les algèbres de Lie des groupes de Galois différentiels, pour avoir des critères constructifs caractérisant ces algèbres de Lie. Ces critères ont aussi des applications dans l’étude de l’intégrabilité de systèmes hamiltoniens – dans le prolongement de la thèse d’Ainhoa Aparicio dans notre groupe. Enfin, on devrait généraliser ces objets en les confrontant à des généralisations naturelles: symétries de Lie, paires de Lax, ce qui ouvre un large champs de travail.

Objectifs scientifiques de la thèse
Améliorer les algorithmes (et programes, par exemple en Maple) pour l’étude des équations différentielles; applications à l’intégrabilité des systèmes dynamiques; comparaison avec les méthodes de type « paires de Lax » et « Symétries de Lie ».

Compétences à l’issue de la thèse
Calcul Formel, Modélisation, Algèbre, Equations Différentielles, Théorie des Représentations, Systèmes Dynamiques, Symétries, Programmation

Mots clés (séparés par des virgules)
Calcul Formel, Modélisation, Algèbre, Equations Différentielles, Théorie des Représentations, Systèmes Dynamiques, Symétries, Programmation
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Expérience/profil souhaité(e)
Un goût pour le calcul formel et/ou l’approche constructive des mathématiques. Un peu de connaissances sur les équations différentielles et un peu de background algébrique pour les aspects groupes et représentations.

Modalité de dépôt des candidatures
nous contacter

Directeur de thèse
Jacques-Arthur Weil
Adresse mail du directeur de thèse : jacques-arthur.weil@unilim.fr
Téléphone Directeur de thèse : 05 87 50 68 01

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