Déformations libres de contours pour l’optimisation de formes et applications en électromagnétisme

Sujets de thèse

Intitulé de la thèse
Déformations libres de contours pour l’optimisation de formes et applications en électromagnétisme
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Non connu à ce jour
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Sciences pour l’Ingénieur
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
Limoges
Laboratoire d’accueil : XLIM/DMI

Introduction
Les méthodes d’optimisation de formes cherchent à calculer une forme géométrique minimisant un critère. Le gradient de forme du critère se calcule souvent en résolvant une EDP et les formes sont alors souvent représentées en utilisant le maillage qui sert à résoudre l’EDP. Nous proposons une paramétrisation de la frontière de la forme par des courbes ou des surfaces polynomiales par morceaux permettant d’éviter des calculs coûteux dans un processus de descente de gradient. Dans le cas de la segmentation d’image, notre approche a montré sa pertinence. Il s’agit ici de traiter des problèmes d’optimisation de formes plus généraux et de s’intéresser plus particulièrement à des problèmes issus de l’électromagnétisme (conception de composants hyperfréquences).

Présentation de l’équipe de recherche
Le département DMI d’XLIM regroupe des informaticiens et des mathématiciens. Ce sujet se fera en collaboration avec le département MINACOM d’XLIM qui apportera son expertise dans le domaine de la conception de composants et qui propose des problèmes concrets pour tester les méthodes.

Résumé de la thèse en français
Les méthodes d’optimisation de formes cherches à calculer une forme géométrique minimisant un critère. Le gradient de forme du critère se calcule souvent en résolvant une EDP et les formes sont alors souvent représentées en utilisant le maillage qui sert à résoudre l’EDP. Nous proposons une paramétrisation de la frontière de la forme par des courbes ou des surfaces polynomiales par morceaux permettant d’éviter des calculs coûteux dans un processus de descente de gradient. Dans le cas de la segmentation d’image, notre approche a montré sa pertinence. Il s’agit ici de traiter des problèmes d’optimisation de formes plus généraux et de s’intéresser plus particulièrement à des problèmes issus de l’électromagnétisme (conception de composants hyperfréquences).

Résumé de la thèse en anglais
Shape optimization methods aim to compute a shape minimizing a criterium. The gradient of the criterium with respect to the shape is computed solving an EDP. The shapes are represented using the mesh used for solving EDP. We propose to use special encoding of the frontier of the shape using free forms (piecewize polynomial curves or surfaces) allowing to avoid expensive computations during a gradient method to optimize the shape. Our approach gave good results in the context of active contours (images segmentation). During this thesis, we propose to treat more general shape optimization problems and to specifically apply this approach to problems arising in design of electronic devises.

Description complète du sujet de thèse
Il s’agit d’un sujet transverse concernant le programme CAO et plus spécifiquement l’articulation MINACOM/CAO. Le contexte de ce sujet est la conception de méthodes d’optimisation de formes pour la conception de composants et circuits. Les problèmes d’optimisation de forme peuvent se poser comme suit: soit F dans R^2 ou R^3 un espace de formes admissibles et soit g une fonction suffisamment régulière, le problème consiste à trouver f dans F tel que g(f) plus petit ou égale à g(h) pour tout h dans F, autrement dit, on cherche une forme qui minimise la fonctionnelle . Généralement le calcul de la valeur de g ou de son gradient résulte de la résolution d’un système d’équations aux dérivées partielles. Dans le cas qui nous intéresse, le système d’EDP est donné par les équations de Maxwell en général. Dans le cadre du projet transverse CAO d’XLIM, nous avons développé une méthode d’optimisation de formes basées sur une représentation paramétrée de l’espace des formes . Cette méthode permet de faire de l’optimisation géométrique (on fixe la topologie de l’objet et on optimise sa géométrie) et de l’optimisation topologique (on permet de faire des trous où de casser des composantes en plusieurs morceaux). La méthode a donné de très bons résultats dans un cadre de segmentation d’image.

Il y a deux aspects importants dans cette thèse: une partie théorique et une partie de développement logiciel et de simulation. La partie théorique étudiera la possibilité de coupler des méthodes de relaxation de type SIMP 1] pour le calcul du gradient critère avec la paramétrisation de contours et l’hybridation avec la méthode des lignes de niveau ou encore le gradient topologique. Il y a une partie théorique importante concerne les résultats d’existences d’un minimum sur certains problèmes en utilisant la paramétrisation de l’espace des formes (courbes ou surfaces polynomiales par morceaux, stockées par des patches de Bézier paramétrés par leurs points de contrôle) et des études du comportement numériques de cette approche. Il y a un gros effort à fournir également sur l’algorithmique en dimension 3 pour la paramétrisation et la déformation de contours. La partie programmation des méthodes développées et simulations devra se faire dans le contexte des logiciels déjà développés à XLIM, notamment, les codes devront pouvoir être intégrés facilement à EMXD. Enfin, les simulations devront aller de tests sur des cas déjà étudiés 2] jusqu’à la conception de nouveaux composants.
En perspectives, il serait intéressant de tester ces méthodes sur des systèmes prenant en comptes des critères multi-physiques (thermique et électromagnétiques par exemple).
[1] Bendsoe M.P. and Sigmund O., Topology Optimization, Springer Verlag 2003.
[2] KHALIL Hassan , BILA Stéphane , AUBOURG Michel , BAILLARGEAT Dominique , VERDEYME Serge , PUECH J. , LAPIERRE L. , DELAGE C , CHARTIER T., Optimisation de filtres à résonateurs diélectriques par la méthode du gradient topologique, JNM 2009, 16èmes Journées Nationales Microondes.
[3] O. Labbani-Igbida, P. Merveilleux, O. Ruatta, Free Forms for active contours, preprint.

Objectifs scientifiques de la thèse
Compléter l’étude théorique de l’approche proposée. Développer les outils algorithmiques nécessaires pour le traitement de formes dans l’espace et valider cette approche sur des problèmes concrets issus de l’électromagnétisme.

Compétences à l’issue de la thèse
Optimisation de forme. Géométrie algorithmique. Algorithmique pour les courbes et surfaces. Programmation d’algorithmes élaborés. Electromagnétisme. Travail pluri-disciplinaire.

Mots clés (séparés par des virgules)
Optimisation de formes. Géométrie semi-algébrique.
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Directeur de thèse
Olivier Ruatta.
Maître de conférences en mathématiques à l’Université de Limoges.
Adresse mail du directeur de thèse : [olivier.ruatta@unilim.fr
Téléphone Directeur de thèse : 0587506780

Co-directeur de thèse
Stéphane Bila
Chargé de recherche CNRS
Adresse mail du co-directeur de thèse : stephane.bila@xlim.fr
Téléphone co-Directeur de thèse : 0555457376
Fichier annexe (pdf) : RuattaBilaThese

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