Schémas des jets des adhérences d’orbites nilpotentes d’une algèbre de Lie simple complexe

Sujets de thèse 2014

Intitulé de la thèse
Schémas des jets des adhérences d’orbites nilpotentes d’une algèbre de Lie simple complexe.
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Financement institutionnel, Contrat Doctoral, Financement régional, Contrats université sur projets,)
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Mathématiques
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
Laboratoire de Mathématiques et Applications, Université de Poitiers
Laboratoire d’accueil : LMA

Présentation de l’équipe de recherche
Les adhérences d’orbites nilpotentes d’une algèbre de Lie simple sont certaines variétés algébriques symplectiques sur lesquelles opère un groupe algébrique. Leur étude est donc au carrefour entre la géométrie algébrique, la théorie des groupes et des représentations, et la théorie de Lie-Poisson. Les recherches des membres de l’équipe «Géométrie algébrique – Géométrie analytique, Théorie de Lie» du LMA portent pour une large part sur ces thématiques.

Résumé de la thèse en français
Le sujet de la thèse porte sur les propriétés géométriques des schémas des jets des adhérences d’orbites nilpotentes d’une algèbre de Lie simple complexe. Il s’agit en particulier d’étudier l’irréductibilité de ces schémas, l’objectif étant de permettre une meilleure compréhension des singularités des adhérences d’orbites nilpotentes.

Résumé de la thèse en anglais
The subject of the thesis focuses on the geometrical properties of the jet schemes of the closures of nilpotent orbits in a complexe simple Lie algebra. In particular, this includes the study of the irreducibility of these schemes. The objective is to enable a better understanding of the singularities of the closures of nilpotent orbits.

Description complète du sujet de thèse
Les adhérences d’orbites nilpotentes d’une algèbre de Lie simple forme une famille particulièrement intéressante de variétés algébriques symplectiques sur lesquelles opère un groupe algébrique. Les schémas des jets d’une variété algébrique sont une généralisation de l’espace tangent; un jet d’ordre donné peut être vu comme une courbe de cet ordre donné inscrite dans la variété.

D’après un résultat de Eisenbud-Frenkel (2001), les schémas des jets à tout ordre du cône nilpotent d’une algèbre de Lie simple complexe sont irréductibles. Rien ne semble connu pour les schémas des jets des autres adhérences d’orbites nilpotentes, le cône nilpotent étant l’adhérence de l’orbite nilpotente régulière. Les premières observations montrent qu’ils ne le sont pas en général.

Le premier objectif de cette thèse est d’étudier le caractère irréductible des schémas des jets des adhérences d’orbites nilpotentes.

Depuis les travaux de Nash (1995), il est connu que les propriétés géométriques des espaces des jets d’une variété peuvent donner des informations sur les singularités de celle-ci. Une illustration de ce phénomène est due à M.Mustata (2001) qui a montré qu’une intersection complète est à singularités rationnelles si et seulement si ses schémas des jets sont tous irréductibles.

Un deuxième objectif de la thèse est d’exploiter les phénomènes observés sur les schémas des jets pour étudier les singularités des adhérences d’orbites nilpotentes.

L’une des motivations pour ce sujet est la suivante. D’après un résultat ancien de Kostant, le cône nilpotent est une intersection complète. Récemment (2013), Y. Namikawa a montré que la seule adhérence d’orbites nilpotentes (non nulle) qui est une intersection complète est le cône nilpotent. M.Brion et B. Fu ont depuis donné une nouvelle démonstration, plus uniforme, du résultat de Namikawa. Une question intéressante, et soulevée par M.Brion, est de savoir si l’on peut obtenir une autre démonstration du résultat de Namikawa à l’aide de schémas des jets.

Nous envisageons le déroulement de la thèse comme suit. Dans un premier temps, on cherchera à déterminer si le schéma des jets d’ordre un, qui s’identifie à l’espace tangent, d’une adhérence d’orbite nilpotente donnée est réductible ou non. Le cas échéant, on pourra alors se demander quel est le nombre de ses composantes irréductibles. Une stratégie pour aborder le problème sera d’exploiter des équations explicites de l’idéal de définition lorsque celles-ci sont connues. C’est le cas par exemple si l’algèbre de Lie ambiante est l’algèbre de Lie simple sl(n); voir les travaux de Weyman.
Dans un second temps, on étudiera les schémas des jets dans les autres algèbres de Lie simples complexes (classiques et exceptionnelles), et on s’intéressera aux ordres supérieurs. Enfin, on s’attachera aux conséquences de ces résultats sur les singularités de la variété en question.

Objectifs scientifiques de la thèse
Déterminer pour chaque algèbre de Lie simple (complexe) et chaque adhérence d’orbite nilpotente si ses schémas des jets sont irréductibles ou non.

Compétences à l’issue de la thèse
1) Maîtriser les techniques classiques de théorie de Lie, en particulier celles liées à la théorie des orbites nilpotentes et des sl2-triplets.

2) Savoir exploiter les propriétés géométriques des schémas des jets dans l’étude des singularités d’une variété algébrique.

Mots clés (séparés par des virgules)
algèbre de Lie simple, orbite nilpotente, schéma des jets, singularité.
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Expérience/profil souhaité(e)
Connaissances de base en géométrie algébrique (théorie des schémas). Connaissances de base en théorie de Lie et/ou théorie des représentations.

Modalité de dépôt des candidatures
Dossier de candidature : un CV, les relevés de notes de Master, une lettre de motivation
et les noms de deux personnes que nous pourrons éventuellement contacter pour obtenir une lettre de recommandation. Adresser le dossier au directeur de thèse Anne Moreau anne.moreau@math.univ-poitiers.fr en mettant en copie le directeur adjoint de l’Ecole Doctorale Samuel Boissière samuel.boissiere@math.univ-poitiers.fr

Date limite de candidature
30 avril 2014.

Directeur de thèse
Anne MOREAU
Adresse mail du directeur de thèse : anne.moreau@math.univ-poitiers.fr
Téléphone Directeur de thèse : 05 49 49 69 12

Co-directeur de thèse
Rupert WEI TZE YU
Adresse mail du co-directeur de thèse : rupert.yu@univ-reims.fr
Téléphone co-Directeur de thèse : 03 26 91 31 62

Recherche

Menu principal

Haut de page