Équations non locales et transport optimal de masse

Sujets de thèse 2014

Intitulé de la thèse
Équations non locales et transport optimal de masse
Publication du sujet sur le site de l’ABG : OUI
Nature du financement : Financement institutionnel, Contrat Doctoral, Financement régional, Contrats université sur projets,)
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Domaine de compétences secondaire (pour l’ABG) : Mathématiques
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
XLIM-DMI, UMR-CNRS 7252 Faculté des sciences et techniques Université de Limoges 123, Avenue Albert Thomas 87060 Limoges, France
Date Limite de candidature : 15/07/2013
Laboratoire d’accueil : XLIM/DMI

Présentation de l’équipe de recherche
L’équipe MOD recouvre plusieurs thèmes de recherche: optimisation numérique, optimisation non lisse, analyse variationnelle et non lisse, EDP, contrôle optimal et transport optimal de masse. Notre activité de recherche consiste à développer des outils d’analyse et des algorithmes de résolution en vue de les appliquer à l’étude théorique et à la résolution effective de problèmes d’optimisation et variationnels issus des sciences de l’ingénieur.

Résumé de la thèse en français
L’objectif de la thèse est la mise en place des méthodes théoriques et numériques pour établir des liens entre des équation non locales et la théorie de transport optimale de masse.

Résumé de la thèse en anglais
The objective of the thesis is the development of theoretical and numerical methods to establish links between continuous nonlocal equations and optimal mass transport problems.

Description complète du sujet de thèse
La théorie du transport optimal de masse est un domaine très en pointe de la recherche mathématique. Il trouve ses origines dans des applications logistiques et économiques (par exemple le problème dit Brouette de Monge Monge], et le problème d’allocation optimale des ressources [Kanto]). Actuellement, il connaît un renouveau spectaculaire grâce à ses interactions avec la mécanique des fluides, les équations aux dérivées partielles (EDP) et d’autres domaines des mathématiques. Ces problèmes sont tous liés par la question de trouver comment passer de la situation initiale à la configuration finale de la meilleure manière possible. Et, l’idée générale du transport optimal est de déterminer une application optimale transportant une fonction vers une autre fonction. Optimale en un certain sens, par exemple en minimisant le parcours moyen des points de l’espace. Pour en savoir plus sur le transport optimal, on pourra se référer au premier ouvrage de Cédric Villani [Villani].

Depuis les travaux de Y. Brenier (cf. [Brenier]) ensuite ceux de L. Evans et W. Gangbo (cf. [Evans&Gangbo]), il est bien connu actuellement que le lien entre les EDP et la théorie du transport optimal est très fort. Des techniques d’EDP ont permis de résoudre de nombreuse questions de transport optimal de masse, et inversement la vision intuitive de cette dernière théorie ont permis de mieux interpréter et appréhender de nombreuses questions relatives aux EDP.

De nouveaux problèmes théoriques et numériques demandent à établir des liens entre des équations d’évolutions non locales et la théorie du transport optimale. Récemment, en utilisant des flots de gradients avec des métriques de Wasserstein sur des espaces discrets, quelques liens ont été établis par J. Maas dans une série d’article entre des équations discrètes déterminées par des chaines de Markov et la théorie de transport optimale. Dans ce contexte, l’objectif de la thèse est la mise en place de méthodes théoriques et numériques pour établir des liens entre des équation non locales continues et la théorie de transport optimale de masse. Cette étude sera en particulier inspiré du récent papier [Igbida]. Le choix du développement des différents aspects (théoriques, numériques et applicatifs) liés à ce sujet sera ajusté en fonction du profil du (de la) candidat(e). Une formation en mathématiques appliquées est dans tous les cas nécessaire.

Bibliographie:

[Brenier] Yann Brenier, Polar Factorization and Monotone Rearrangement of Vector-Valued Func- tions. Comm. Pure Appl. Math., vol. XLIV, 1991, p. 375-417.

[Evans&Gangbo] L. C. Evans and W. Gangbo. Differential equations methods for the Monge-Kantorovich mass transfer problem. Mem. Am. Math. Soc., 137, no. 653, 1999.

[Igbida] N. Igbida. Stochastic Interacting System for MK Optimal Mass Transport Problem . Sub- mitted paper, 28 pages.

[Kanto] L. V. Kantorovich, On the transfer of masses, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 37 (1942), 227-229 (Russian)

Objectifs scientifiques de la thèse
The theory of optimal mass transportation is a very advanced field of mathematical research. It has its origins in applications in logistical and economic (for instance the so called ’’Brouette de Monge’’ [Monge] and the optimal allocation of resources [Kanto]). Currently, he knows a great revival through its interactions with the mechanics of fluids, partial differential equations and other areas of mathematics. These problems are all linked with the question of how to go from the initial situation to the final configuration in the best way possible. And the idea of optimal transportation is to determine an optimal application carrying a function to another function. Optimal is in some precise sense, for instance by minimizing the path of the points of the space. For more information on the optimal transportation problem, we refer the reader to the first book of Cédric Villani [Monge]..

Since the work of Y. Brenier (see [Brennier]) then those of L. Evans and W. Gangbo (see [Evans&Gangbo]), it is now well known by now that the relationship between partial differential equations (PDE) and the theory of optimal transport is very strong. PDE technics have helped to solve numerous issues of optimal transport of mass and inversely the intuitive vision of the optimal mass transport problem led to better interpret and understand many issues in PDE.

New theoretical and numerical problems linkages between non-local evolution equations and the theory of optimal transport. Recently, using gradient flow with Wasserstein metrics on discrete spaces, some links have been established by J. Maas in a series of articles between discrete equations determined by Markov chains and the theory of optimal transport. In this context, the objective of this thesis is the development of theoretical and numerical methods to establish links between continuous nonlocal equations and optimal mass transport problems. The choice of developing the various aspects (theoretical, numerical and applications) related to this subject will be adjusted according to the profile of the candidate. Training in applied mathematics is in any case necessary.

Bibliography:

[Brenier] Yann Brenier, Polar Factorization and Monotone Rearrangement of Vector-Valued Func- tions. Comm. Pure Appl. Math., vol. XLIV, 1991, p. 375-417.

[Evans&Gangbo] L. C. Evans and W. Gangbo. Differential equations methods for the Monge-Kantorovich mass transfer problem. Mem. Am. Math. Soc., 137, no. 653, 1999.

[Igbida] N. Igbida. Stochastic Interacting System for MK Optimal Mass Transport Problem . Sub- mitted paper, 28 pages.

[Kanto] L. V. Kantorovich, On the transfer of masses, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 37 (1942), 227-229 (Russian)

Compétences à l’issue de la thèse
Doctorat en mathématiques appliquées avec des compétences analyse non linéaire, optimisation et calcul des variations.

Mots clés (séparés par des virgules)
optimisation, transport optimal de masse, équations non locales, analyse appliquée, EDP.
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Modalité de dépôt des candidatures
Envoyer un CV, relevés de notes (au moins ceux du M1 et M2).
Adresse: noureddine.igbida@unilim.fr

Directeur de thèse
Noureddine Igbida
Adresse mail du directeur de thèse : [noureddine.igbida@unilim.fr

Téléphone Directeur de thèse : 0587506798
Cofinancement LABEX SigmaLIM demandé : NON

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