Etude de fonctions impliquant les nombres premiers

Sujets de thèse 2014

Intitulé de la thèse
Etude de fonctions impliquant les nombres premiers
Publication du sujet sur le site de l’ABG : NON
Nature du financement : non connu à ce jour
Domaine de compétences principal (pour l’ABG) : Mathématiques
Spécialité de doctorat : Mathématiques et Applications

Lieu de travail
XLIM/DMI, 123 avenue Albert THOMAS, 87060 Limoges Cedex
Laboratoire d’accueil : XLIM/DMI

Présentation de l’équipe de recherche
L’équipe XLIM-DMI dispose de chercheurs reconnus dans le domaine de la théorie des nombres et de la
cryptographie. Elle dispose d’une recherche mathématique théorique pointue (Théorie des Nombres) mais aussi appliquée à la cryptographie
et à la sécurité en général.

Résumé de la thèse en français
Le but de cette thèse est l’étude de la fonction de Chebyshev ainsi que d’autres fonctions sommatoires pour donner leur comportement asymptotique ainsi que des encadrements effectifs avec ou sans la supposition de l’hypothèse de Riemann et hors ou dans
les progressions arithmétiques.

Résumé de la thèse en anglais
The purpose of this thesis is the study of the Chebyshev function and other summatory functions to give their asymptotic behavior and their estimates with or without the assumption of the Riemann hypothesis and whether or not in arithmetic progressions.

Description complète du sujet de thèse
La théorie des nombres s’occupe principalement des propriétés des nombres entiers.
Cette thématique est paradoxale dans le sens où la plupart de ses problèmes peuvent être énoncés de manière tout à fait élémentaire, mais que les
outils nécessaires pour leur résolution sont en général très sophistiqués.
C’est le cas des nombres premiers et de leur répartition.
Les nombres premiers sont très simples à définir à l’aide d’un critère de divisibilité mais leur répartition est plus difficile à cerner. Pour cela, des fonctions sommatoires sont utilisées et si elles sont analysées analytiquement, l’hypothèse de Riemann (formulée en 1859) qui lie les zéros non triviaux de la fonction zêta avec la répartition des nombres premiers apparaît. Cette hypothèse reste une conjecture et à défaut de la résoudre directement, deux types d’encadrements de ces fonctions sont exprimés, intégrant l’hypothèse de Riemann ou non. Ensuite l’étude de ces fonctions peut être spécifiée, elle sera alors conduite en considérant que les nombres
premiers étudiés appartiennent à une classe de congruence déterminée.

Objectifs scientifiques de la thèse
L’objectif est de contruire des
estimations de fonctions qui sont ensuite utilisées dans des preuves de
cryptographie ou de sécurité. Cela permet l’évolution des normes pour
une sécurité renforcée par exemple au sein des cartes à puce.

Compétences à l’issue de la thèse
Maîtrise d’une recherche bibliographie sur un sujet donné, Connaissance de l’impact et l’enchaînements des résultats les uns sur les autres, Maîtrise de l’aspect sommatoire en théorie des nombres.

Mots clés (séparés par des virgules)
Théorie des nombres, Number Theory, nombres premiers, Prime numbers
Conditions restrictive de candidature (nationalité, âge, …) : NON

Expérience/profil souhaité(e)
Master Mathématique

Modalité de dépôt des candidatures
CV + lettre de motivation (+ lettres de recommandation souhaitées)

Directeur de thèse
Pierre DUSART
Adresse mail du directeur de thèse : pierre.dusart@xlim.fr
Téléphone Directeur de thèse : +33587506796

Co-directeur de thèse
Hakim SMATI
Adresse mail du co-directeur de thèse : hakim.smati@unilim.fr
Téléphone co-Directeur de thèse : +33587506797
Cofinancement LABEX SigmaLIM demandé : NON
Thèse pour Action transverse : NON

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