Réduction et décomposition de systèmes dynamiques linéaires et bilinéaires

Le cadre général est l’étude constructive des systèmes linéaires d’équations fonctionnelles (i.e., différentielles,
aux dérivées partielles, aux différences) avec le point de vue de l’analyse algébrique. Tout système d’équations fonctionnelles linéaires peut s’écrire sous la forme Ry = 0 où R est une matrice rectangulaire dont les éléments appartiennent à un anneau polynomial non-commutatif D d’opérateurs fonctionnels. Dans cette approche, un système linéaire fonctionnel est étudié à l’aide d’un module à gauche M finiment présenté par la matrice R. Certaines propriétés du système fonctionnel se traduisent alors naturellement en termes de propriétés algébriques du module M (e.g., existence d’éléments de torsion, module sans-torsion, réflexif, projectif, stablement libre, libre). Se pose alors naturellement la question de reconnaître de manière constructive ces propriétés de modules. Pour cela, nous développons des méthodes constructives d’algèbre homologique (e.g., calcul de résolutions, de dimensions, de foncteurs extension et torsion) qui s’implémentent dans des logiciels de calcul formel (e.g., Maple, Mathematica) grâce aux développements récents de méthodes effectives sur certaines algèbres non commutatives d’opérateurs (e.g., bases de Gröbner, bases de Janet).
Des travaux récents ont montré comment étudier dans cette approche les problèmes de réduction et de décomposition consistant à étudier l’équivalence de la matrice R à une matrice triangulaire par blocs ou une matrice diagonale par blocs. De plus, le cas d’une décomposition diagonale par blocs où l’un des blocs est la matrice identité a récemment été étudié. Cette réduction dite de Serre permet de réduire le nombre d’équations et d’inconnues du système fonctionnel.

Le but de cette thèse est d’étudier les problèmes de réduction, décomposition et réduction de Serre dans le cas des systèmes d’évolution définis par des matrices de la forme R= d/dt I – E où E est une matrice à coefficients dans un anneau A d’opérateurs différentiels en d/dx , d/dt

Contact: Thomas Cluzeau

Recherche

Menu principal

Haut de page