Théorème d’Abel-Jacobi effectif et applications

« Ce théorème classique établit un isomorphisme de groupe entre la jacobienne d’une courbe algébrique complexe (le groupe les diviseurs de degré zéro modulo les diviseurs principaux) et une certaine variété définie par les périodes de la courbe. Il permet en théorie de décider si un diviseur est principal ou non, en ramenant la question au calcul des périodes et à celui du calcul de certaines intégrales sur une surface de Riemann.

Le question de la principalité d’un diviseur apparaît en calcul formel pour décider de l’existence de primitives élémentaires pour les fonctions algébriques et pour décider de l’existence de solutions algébriques à certaines équations différentielles. Pour l’instant, ce problème est résolu par réduction modulo p des objets. L’algorithme est bien connu mais nécessite des détours théoriques sophistiqués et sa justification n’est pas aisément accessible.

Il est intéressant d’étudier dans quelle mesure une version effective directe du théorème d’Abel-Jacobi peut se substituer à la réduction modulo p. L’approche est plus élémentaire, mais les calculs numériques sont difficiles à maîtriser, en termes de précision, stabilité et complexité. La première étape en a été abordée dans la thèse d’Adrien Poteaux 1] et les publications associées ([2],[3], [4]). Il s’agira tout d’abord d’améliorer la partie numérique de l’algorithme symbolique-numérique développé dans ces travaux, puis d’en étudier la pertinence pour la construction d’une version effective du théorème d’Abel-Jacobi et d’outils algorithmiques et logiciels pour le calcul formel.

[1] Calcul de développement de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d’une courbe algébrique plance. Adrien Poteaux, Thèse de doctorat, Université de Limoges, 2008.
[2] Computing Monodromy Groups Defined by Plane Algebraic Curves, A. Poteaux, SNC 2007.
[3] Good Reduction of Puiseux Series and Complexity of the Newton-Puiseux Algorithm over Finite Field, A Poteaux, M. Rybowicz, ISSAC 2008 (Best Student Paper Award).
[4] Good Reduction of Puiseux Series and Applications, A. Poteaux, M. Rybowicz, accepté par le Journal of Symbolic Computation.

Contact: [Moulay Barkatou

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